☛ Le jeu du tarot « africain »

Partie I

1. On sait que le joueur A voit les cartes $15$ , $10$ , $9$ et $2$ .
   1. On note $F$ l'événement : « Le joueur A a la carte la plus forte ». On sait qu'il reste alors $18$ cartes. Parmi ces $18$ cartes, il y a les cartes de $16$ à $21$ et l'excuse qui peuvent être plus fortes que la meilleure carte. Alors $P(F)={\displaystyle \frac{7}{18}}\approx \mathrm{0,389}$ .
   2. Si le joueur A est le premier à parler, on sait qu'il a environ $39$ % de chances de remporter le pli. Il a donc environ $61$ % de chances de ne pas gagner, donc il a tout intérêt à annoncer «  $0$  ».
   3. Le joueur précédent a annoncé qu'il ne faisait pas le pli. Il voit les cartes $10$ , $9$ et $2$ ainsi que la carte du joueur A. Parmi les $18$ cartes qu'il ne voit pas, douze sont supérieures à $10$ donc il a plus d'une chance sur deux de remporter le pli. Or il annonce ne pas faire le pli, donc il y a parmi les cartes qu'il voit une carte supérieure ou égale à $12$ . Parmi ces cartes, sept sont supérieures ou égales à $15$ (la carte qu'il a en main) donc le joueur A a intérêt à annoncer qu'il fera le pli.
2. Le joueur A voit $n-1$ cartes. On note  $p$ la valeur de la carte la plus élevée parmi ces cartes. On a $22-p$ cartes d'une valeur supérieure à $p$ (en comptant l'excuse) et le nombre de cartes restantes possibles pour le joueur A est de $22-(n-1)=23-n$ . La probabilité que le joueur A remporte le pli est alors ${\displaystyle \frac{22-p}{23-n}}$ .

Partie II

1. On souhaite savoir quel est le nombre de mains possibles lors du tour à  $10$ cartes. On doit choisir $10$ cartes parmi $40$ , donc le nombre $N$ est  $N={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{40}{10})={\displaystyle \frac{40!}{10!\times 30!}}=847660528}$ .
2. On cherche le nombre de mains ne contenant aucun retourneur. Il faut donc choisir les  $10$ cartes de la main du joueur parmi $37$ cartes seulement $(40-3)$ . Ce nombre de mains est donc $N_0={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{37}{10})={\displaystyle \frac{37!}{10!\times 27!}}=348330136}$ . La probabilité pour un joueur de n'avoir aucun retourneur en main est donc de   ${\displaystyle \frac{N_0}{N}}={\displaystyle \frac{348330136}{847660528}}={\displaystyle \frac{203}{494}}\approx \mathrm{0,411}$ .
3. On cherche le nombre de mains contenant exactement deux retourneurs. Il faut donc choisir deux retourneurs parmi les trois puis choisir le reste des cartes (huit cartes) parmi les trente-sept restantes. Ainsi $N_2={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{37}{8})=3\times {\displaystyle \frac{37!}{8!\times 29!}}=115824060}$ . La probabilité d'avoir exactement deux retourneurs en main pour un joueur donné est donc de ${\displaystyle \frac{N_2}{N}}={\displaystyle \frac{115824060}{847660528}}={\displaystyle \frac{135}{988}}\approx \mathrm{0,137}$ .
4. Notons $X$ la variable aléatoire désignant le nombre de cartes spéciales qu'a en main un joueur lors du tour à $10$ cartes. Comme il y a quatre joueurs, on a quatre variables aléatoires $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ et $X_4$ suivant la loi de probabilités de $X$ . On a $9$ cartes spéciales, et toutes sont réparties entre les quatre joueurs donc $X_1+X_2+X_3+X_4=9$ . On a, de plus, $E(X_i)=E(X)$ , pour tout $i$ entre $1$ et $4$ . On a ainsi $E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)=9$ , donc $4\times E(X)=9$  et ainsi $E(X)={\displaystyle \frac{9}{4}}=2,25$ . En moyenne, un joueur aura donc $2,25$ cartes spéciales en main.
5. On doit choisir la répartition possible des $40$ cartes parmi les $4$ joueurs. Notons $R$ ce nombre. On doit choisir $10$ cartes pour le premier joueur, puis  $10$ cartes pour le deuxième joueur parmi les $30$ restantes, puis  $10$ cartes pour le troisième joueur parmi les $20$ restantes, et enfin les  $10$ dernières cartes pour le quatrième joueur. Ainsi : $\begin{array}{rcl}R& =& {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{40}{10})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{10})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{10})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{10})}\\ R& =& {\displaystyle \frac{40!}{10!\times 30!}}\times {\displaystyle \frac{30!}{10!\times 20!}}\times {\displaystyle \frac{20!}{10!\times 10!}}\times 1\\ R& =& {\displaystyle \frac{40!}{(10!{)}^4}}\approx 4,71\times {10}^{21}\end{array}$ .
   Il y a ainsi près de $4,71$ milliers de milliards de milliards de répartitions possibles.